拓?fù)鋵W(xué)(topology)是近代發(fā)展起來的一個數(shù)學(xué)分支，主要研究各種“空間”在連續(xù)性變化后仍保持不變的性質(zhì)。它只考慮近鄰間的位置關(guān)系而不是外形和大小，描述物體的一些整體特性，比如著名的哥尼斯堡七橋問題、多面體歐拉定理、四色問題等。舉個形象的例子，在不開孔的情況下(因?yàn)殚_孔破壞了近鄰關(guān)系)，一個球形或方形的實(shí)心橡皮泥可以捏成一個碗或勺子，卻捏不成一個圓環(huán)或漏斗。那么，球和圓環(huán)具有不同的拓?fù)鋽?shù)，即虧格g(Genus)，可用高斯—波涅定理(Gauss—Bonnet theorem)描述： 2(1 - g) =∫_surfaceKdA/(2π) ，即高斯曲率K的表面積分。此時(shí)g為整數(shù)，通常等于物體開孔的數(shù)量，比如球形g=0，環(huán)形g=1。在凝聚態(tài)物理領(lǐng)域，隨著晶體能帶理論的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)倒空間的能帶結(jié)構(gòu)也可具有不同的拓?fù)湫再|(zhì)，繼而發(fā)展成一類擁有相變、對稱性以及具有非平庸拓?fù)湫缘男滦筒牧?mdash;—拓?fù)洳牧�，其中典型的例子就是霍爾效�?yīng)家族。

 

1879 年，美國物理學(xué)家埃德溫·霍爾(Edwin. H. Hall)發(fā)現(xiàn)了霍爾效應(yīng)：電流通過具有垂直外加磁場(B)的導(dǎo)體時(shí)，垂直于電流和磁場的方向存在電勢差，其霍爾電阻(R_H)隨B 線性增加。1980年，德國物理學(xué)家馮·克利青(Von Klitzing)發(fā)現(xiàn)，在低溫強(qiáng)磁場下，二維電子氣被限制在極薄的一層空間之內(nèi)運(yùn)動， R_H 與B的關(guān)系在總體上升趨勢中會出現(xiàn)一系列對載流子濃度、遷移率大小等均不敏感的平臺， 平臺處的R_H = h/(ne²) (n 為整數(shù))， 即整數(shù)量子霍爾效應(yīng)。隨后， 1982 年Thouless 等人指出：其中量子化的根源在于存在拓?fù)洳蛔兞�，整�?shù)n 對應(yīng)的是非零陳數(shù)(Chern number，以陳省身先生命名)，即TKNN 關(guān)系，而真空或普通絕緣體的陳數(shù)為零。在該體系中，處于體能隙中的費(fèi)米面附近存在無能隙的手性邊界態(tài)，其拓?fù)浔Ｗo(hù)表現(xiàn)為電子的完全背散射抑制和缺陷免疫的單向輸運(yùn)，這是一種介于絕緣體和金屬之間新的物態(tài)——拓?fù)鋺B(tài)，它不能夠在朗道相變理論的框架下得到解釋。從此，物質(zhì)的拓?fù)湫再|(zhì)研究成為凝聚態(tài)物理研究中一個重要方向。但是，實(shí)現(xiàn)量子霍爾效應(yīng)往往需要外加強(qiáng)磁場(破壞時(shí)間反演對稱性)和較低的溫度，于應(yīng)用不利。2005 年左右，Kane和張首晟等人分別提出，在零磁場下，利用自旋軌道耦合，可存在一對共軛的自旋相反的無能隙邊界態(tài)，即量子自旋霍爾效應(yīng)(二維)或拓?fù)浣^緣體(三維)。此時(shí)，總的霍爾電導(dǎo)為零，但是具有不為零的量子化自旋霍爾電導(dǎo)，可用Z₂ 拓?fù)洳蛔兞炕蜃孕�陳�?shù)(Spin Chern number)來描述，具有時(shí)間反演對稱保護(hù)的自旋輸運(yùn)性質(zhì)。2011 年，哈佛大學(xué)L. Fu 提出也可通過晶格對稱性構(gòu)造一種三維拓?fù)渚�體絕緣體。不同于一般拓?fù)浣^緣體，其不需要自旋軌道耦合，拓?fù)湫再|(zhì)受到晶格對稱性(比如鏡面對稱性)而非時(shí)間反演對稱性保護(hù)，并在隨后的實(shí)驗(yàn)上得以證實(shí)。另外，一類名為Floquet 的拓?fù)浣^緣體也可在電磁波誘導(dǎo)的時(shí)間周期振蕩勢能中得以實(shí)現(xiàn)。

 

既然霍爾效應(yīng)家族中的量子化根源在于其拓?fù)涮匦�，而與電子作為半奇數(shù)自旋的費(fèi)米統(tǒng)計(jì)無直接聯(lián)系，而且從能帶圖像和布洛赫(Bloch)定律來看，電子、光子、聲子具有一定的相似性，那么在玻色子領(lǐng)域(具有整數(shù)自旋)，比如光、聲、機(jī)械振動等應(yīng)該也可以實(shí)現(xiàn)類似量子化的拓?fù)鋺B(tài)。特別是近幾十年來關(guān)于光/聲子晶體和超構(gòu)材料的研究，已形成一套集合能帶理論，設(shè)計(jì)和實(shí)驗(yàn)方法的完整研究手段，可有效地實(shí)現(xiàn)光/聲的調(diào)控。把拓?fù)湫虻母拍钜�入到�?聲系統(tǒng)中，特別是其拓?fù)浔Ｗo(hù)的單向傳輸特性，將在光/聲通信，光、聲、電集成，計(jì)算等領(lǐng)域有著巨大的應(yīng)用前景。本文主要關(guān)注二維光/聲拓?fù)鋺B(tài)及其相關(guān)問題的研究，大體回顧了近年來二維情況下光/聲量子霍爾效應(yīng)、Floquet 拓?fù)浣^緣體、拓?fù)浣^緣體(量子自旋霍爾效應(yīng))的相關(guān)工作。

 

2 對稱性和貝利曲率

 

在光/聲子晶體中，由于周期調(diào)制的存在，根據(jù)布洛赫定理，第m條能帶的哈密頓方程可寫成H(k)|u_m(k)> = E_m(k)|u_m(k)> 。那么，可定義一個規(guī)范勢A(k) = i <u_m(k)|∇_k|u_m(k)> ，即貝利聯(lián)絡(luò)(Berry connection)，對勢求旋度即可得到一場強(qiáng)，貝利曲率(Berry curvature) F(k) =∇_k × A(k)。對貝利曲率在整個布里淵區(qū)積分則可得到陳數(shù)的表達(dá)式：

這里，我們先考察在宇稱(P)和時(shí)間反演(T)操作下，光/聲子晶體中體能帶的布洛赫波矢k(ω) 和貝利曲率F(k) 的對稱性。對于波矢，當(dāng)P不變時(shí)， k₊(ω) = -k_-(ω)；T不變時(shí)， k₊(ω) = -k*_-(ω)，其中k₊> 0 和k_-< 0 分別代表正向和反向傳播的波。對于體能帶，k 和ω 均為實(shí)數(shù)，所以只有P和T 同時(shí)破缺時(shí)才有非對稱的體能帶出現(xiàn)k₊(ω) ≠ -k_-(ω)。對于貝利曲率F(k)，僅有P不變，F(xiàn)(k) = F(-k)；僅有T不變，F(xiàn)(k) = -F(-k)；而P和T 同時(shí)存在時(shí)，除去一些沒有很好定義的簡并點(diǎn)， F(k) 處處為零。一般而言，一個有效的實(shí)現(xiàn)非零陳數(shù)的方式是：在體能帶中找到或者構(gòu)造兩重簡并點(diǎn)，比如三角或六方晶格中線性簡并的狄拉克點(diǎn)或者四方晶格中的二次簡并點(diǎn)，然后破缺某種對稱性，打開簡并點(diǎn)并形成體能隙。如圖1(a)所示，六方晶格體能帶的狄拉克錐通過P破缺打開時(shí)，其貝利曲率只在原簡并點(diǎn)附近非零，且呈現(xiàn)對稱形式F(k) = -F(-k) (其在布里淵區(qū)的K點(diǎn)時(shí)為正，而在K′ 時(shí)為負(fù))，其在整個布里淵區(qū)積分為零，即陳數(shù)C=0，意味著該破缺的兩個能帶是拓?fù)淦接沟摹�K和K′ 點(diǎn)符號不同但大小相等的貝利曲率可用來實(shí)現(xiàn)不同的渦旋態(tài)，比如能谷(valley)態(tài)。而如果破缺T，K 和K′ 點(diǎn)處貝利曲率符號相同，比如陳數(shù)C=1，帶隙中將出現(xiàn)一條無能隙的邊界態(tài)。該邊界群速度ω/k 在整個布里淵區(qū)為同號，表明波只能沿邊界無背散射單向傳播，而T 破缺是實(shí)現(xiàn)非零陳數(shù)的必要條件。從k(ω)對稱關(guān)系來看，T破缺時(shí)，一對上、下邊界的布洛赫波矢不再是成對出現(xiàn)，而是分別劈裂成k₊ = k_x + ik_y 和k_- = -k_x - ik_y (虛數(shù)部分代表垂直于邊界方向衰減)，及拓?fù)溥吔鐟B(tài)，其傳播特征是：存在于晶體邊界、單方向且與手性鎖定。玻色子如果僅考慮單一偏振自由度， 無法形成類似Kramers 簡并的自旋對偶態(tài)，如果我們能夠提高玻色子的自由度，通過對稱性構(gòu)造一種軌道贗自旋自由度，形成一個具有四重簡并點(diǎn)的雙重狄拉克錐，則可通過類似自旋—軌道耦合的方式打開簡并，形成能隙，如圖1(b)所示，其上、下能帶均為兩重簡并，可構(gòu)造出一對贗自旋態(tài)。分別把u_m(k)投影到不用的贗自旋態(tài)上，便可得到C_↑ = + 1，C_↓ = -1 。此時(shí)，系統(tǒng)的總體陳數(shù)C_↑ + C_↓ = 0 ，而自旋陳數(shù)非零C_s= ±(C_↑ - C_↓)/2 = ±1 ，即量子自旋霍爾效應(yīng)或拓?fù)浣^緣體。

 

圖1 (a)狄拉克錐通過P 或T破缺后，出現(xiàn)不同邊界態(tài)，第一布里淵區(qū)貝利曲率和陳數(shù)的示意圖；(b)雙重狄拉克錐通過贗自旋—軌道耦合作用后，出現(xiàn)非零自旋陳數(shù)和不同贗自旋的貝利曲率

 

 

3 時(shí)間反演破缺的光/聲量子霍爾態(tài)

 

2005 年，普林斯頓大學(xué)的Haldane 和Raghu提出，通過外加磁場破缺T，使得狄拉克點(diǎn)簡并打開，可在三角或六方旋電光子晶體中構(gòu)造一條TE偏振光(磁場垂直于面外)的無能隙邊界態(tài)，即整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的光子學(xué)類比。這種邊界態(tài)可完全抑制背散射，只能沿一個方向傳播。2008 年，麻省理工學(xué)院的Z. Wang 等提出四方旋磁光子晶體中，通過二次簡并點(diǎn)的打開也可實(shí)現(xiàn)類似現(xiàn)象。以旋磁磁光材料為例，為方便起見，將磁導(dǎo)率μ 的逆表示為

其旋磁γ 源于電子在外加磁場下的進(jìn)動，磁場的引入破壞了T。將μ代入Maxwell方程可以得到：

其中矢勢項(xiàng)A = μz× ∇γ 的出現(xiàn)，意味著存在不成對的邊界態(tài)，對應(yīng)電子的整數(shù)量子霍爾效應(yīng)。非零陳數(shù)可通過(1)式得到。隨后，麻省理工學(xué)院課題組在實(shí)驗(yàn)上首次觀測到這種背散射抑制的單通拓?fù)涔庾討B(tài)，實(shí)驗(yàn)示意圖如圖2(a)所示，其中用于破壞時(shí)間反演對稱性的磁光材料選為釩摻雜的鈣鐵榴石(VCIG；TCI 陶瓷NG-1850)鐵氧體圓柱。該材料在0.20 T 的直流外加磁場下，其具有較高的飽和磁化強(qiáng)度和較低的損耗。當(dāng)頻率約為4.5 GHz時(shí)(位于第二帶隙中)，手性邊界態(tài)的前向傳播和背向傳播的幅值比大于50 dB，表明其背向受抑制，僅能前向傳播。該邊界態(tài)受拓?fù)浔Ｗo(hù)的缺陷免疫和繞過障礙物單向傳播的魯棒性質(zhì)被系統(tǒng)地研究。此外，這種邊界態(tài)也可落在空氣線以外，變成表面模式。另一方面，如果是多個簡并點(diǎn)的破缺則會形成多個無能隙拓?fù)溥吔缒Ｊ�，其�?shù)量由陳數(shù)的大小(|C|)決定�；�于此效應(yīng)，大量有趣的器件設(shè)計(jì)相繼被提出，包括單通光束或光波導(dǎo)分路器(光開關(guān)或光二極管)、單向延遲線、通道上行下載濾波器、磁可調(diào)器件、二進(jìn)制數(shù)字發(fā)生器、慢光器件、寬帶環(huán)路器等等。

 

雖然光類比量子霍爾效應(yīng)拓?fù)溥吔鐟B(tài)于2009 年就已被實(shí)驗(yàn)證實(shí)，但對聲學(xué)而言，要破缺T 則不是一件很容易的事情，一般需要非線性材料或磁聲作用。然而非線性聲學(xué)材料功耗高、不穩(wěn)定而且轉(zhuǎn)化效率低，同時(shí)磁聲作用非常弱且不適用于流體聲波(縱波)，比如空氣聲和水聲。所以，人們一直沒有找到可行的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)聲類比的整數(shù)量子霍爾效應(yīng)。直到2014 年，德州大學(xué)奧斯汀分校A.Alu 研究小組提出了一種利用環(huán)形氣流類比分子環(huán)形電流引入磁場來構(gòu)建等效的聲矢量勢，從而打破時(shí)間反演對稱性，實(shí)現(xiàn)空氣聲的非互易傳播。如圖2(b)所示，該研究小組在實(shí)驗(yàn)上制作了一個緊湊的聲環(huán)路器，非互易隔離率高達(dá)40 dB。其氣動聲學(xué)的方程經(jīng)過化簡，忽略高階小量后，可寫為如下形式：

其中，Φ為速度勢，有效矢勢項(xiàng)A = -ω|V|e_θ/c² ，V代表環(huán)形氣流速度， ω 代表空氣聲圓頻率， ρ 是空氣密度，c為空氣中聲速。與磁光材料公式(3)中出現(xiàn)矢勢相同，(4)式中也出現(xiàn)一個有效矢勢項(xiàng)A ，那么由環(huán)形氣流產(chǎn)生垂直于面外的有效磁場可表示為B_eff =∇×A 。基于此結(jié)構(gòu)，構(gòu)造周期結(jié)構(gòu)，可打開能帶中狄拉克點(diǎn)的簡并，產(chǎn)生非零陳數(shù)，即實(shí)現(xiàn)可類比的聲量子霍爾效應(yīng)。2015 年，3 個研究小組在理論上分別提出在聲子晶體中引入環(huán)流實(shí)現(xiàn)聲拓?fù)溥吔鐟B(tài)的模型，并數(shù)值模擬了具有缺陷免疫魯棒特征的聲單向傳播，如圖2(c)所示，并驗(yàn)證了聲單通方向與環(huán)中方位角的關(guān)系。然而，由于需要動態(tài)同步調(diào)制產(chǎn)生多個環(huán)形氣流，以及可能會帶來不穩(wěn)定性和噪聲，使得這種模型在實(shí)驗(yàn)上較難實(shí)現(xiàn)。

 

圖2 (a)光整數(shù)量子霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)示意圖；(b)通過環(huán)形氣流產(chǎn)生空氣聲的有效磁場示意圖；(c)陣列環(huán)形氣流結(jié)構(gòu)中空氣聲的單向傳播

 

 

4 光/聲Floquet 拓?fù)浣^緣體

 

由于磁響應(yīng)的頻率不高，以旋磁材料為基礎(chǔ)實(shí)現(xiàn)光量子霍爾效應(yīng)，一般局限于微波波段(旋電材料最多到紅外波段)，難以應(yīng)用在紅外通信甚至是可見光頻段。2012 年，斯坦福大學(xué)S.Fan 研究組在理論上指出：可以利用光相位動態(tài)調(diào)制的方法來實(shí)現(xiàn)有效磁場，達(dá)到破缺T 的目的。他們提出(如圖3(a)所示)：通過含時(shí)調(diào)制兩個具有不同共振頻率小球間的耦合相位，使得其中橫向不耦合，而縱向的耦合相位隨周期數(shù)線性增加。光經(jīng)過一個小元格(plaquette)后可引入一個有效規(guī)范勢，相當(dāng)于存在一個均一的有效磁場B =Φ/a² 。它使得正向和反向傳播的光獲得相反的相位，類似于AB 效應(yīng)(Aharonov—Bohm effects)，其本征值將位于不同的頻率區(qū)間。整個系統(tǒng)含時(shí)周期變化，哈密頓量滿足H(t + T) =H(t) ，應(yīng)用Floquet定理，其波函數(shù)可寫為ψ(t) = e^-iεtΦ(t) ，其中ε為準(zhǔn)能量，Φ(t) =Φ(t + T )滿足周期性(類比于布洛赫定理于坐標(biāo)空間)。由此可以得到準(zhǔn)能量—動量空間的體能帶和一個無能隙的拓?fù)溥吔鐟B(tài)，即光Floquet 拓?fù)浣^緣體。同樣的調(diào)制，對于聲而言也可借助該方法實(shí)現(xiàn)聲的Floquet 拓?fù)浣^緣體。如圖3(b)所示，在六方晶格格點(diǎn)位置利用三個聲容隨時(shí)間周期調(diào)制且相互耦合的共振結(jié)構(gòu)，按旋轉(zhuǎn)方向成120°相位差。該理論模型是基于格點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的慢調(diào)制，優(yōu)勢在于晶格間不需要均一的相位。

 

圖3 通過含時(shí)調(diào)制近鄰間光耦合相位實(shí)現(xiàn)有限磁場和(a)光及(b)聲拓?fù)溥吔鐟B(tài)。通過螺旋結(jié)構(gòu)破缺z 方向的對稱性實(shí)現(xiàn)(c)光和(d)聲Floquet 拓?fù)浣^緣體�；�于耦合共振環(huán)的(e)光和(f)聲網(wǎng)絡(luò)模型Floquet拓?fù)浣^緣體

 

然而，實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)周期性的含時(shí)調(diào)制有一定難度。2013 年以色列理工學(xué)院M. C. Rechtsman 等提出一種方案，以空間維度上的調(diào)制(z 方向)來代替時(shí)間的周期調(diào)制，從而在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了光Floquet 拓?fù)浣^緣體。傍軸光線沿z 方向傳播(光子晶格在xy 平面周期調(diào)制)的方程可寫為類似含時(shí)薛定諤方程的形式：

其中ψ 是電場的包絡(luò)函數(shù)，定義為E(x，y，z) =ψ(x，y，z)e^{ik0z - iωt}x 。利用螺旋結(jié)構(gòu)破壞z 方向的對稱性， 如圖3(c) 所示。通過坐標(biāo)變換x′=x + R cos(2πz/Z) ；y′= y + R sin(2πz/Z)；z′= z (螺旋坐標(biāo)，R為半徑，Z為z向間距)，方程(5)可寫為

其中，矢勢項(xiàng)A(z′) = k₀R(2π/Z)[sin(2πz′/Z)， - cos(2πz′/Z)，0] ，有效磁場B_eff =∇×A。而其中ψ′是z方向的周期函數(shù)， 可用Floquet 定理表示為ψ′(z′) = e^-iεz′ψ′(z′) 。同理，準(zhǔn)能量ε可表示為布洛赫波矢(k_x，k_y) 的函數(shù)，即Floquet 能帶圖。據(jù)此，可得到無能隙的拓?fù)溥吔鐟B(tài)。實(shí)驗(yàn)表明，光(633 nm)可沿z 方向繞其邊界無背散射傳播(單向螺旋上升)，具有一定的缺陷免疫能力。聲學(xué)方面，2015 年香港科技大學(xué)陳子亭教授研究組在理論上提出了一種基于三維Weyl 點(diǎn)破缺的單向邊界態(tài)模型。如圖3(d)所示，在聲子晶體層間加入手性的耦合作用，當(dāng)聲波在面內(nèi)傳播時(shí)( k_z = 0 )，能帶位于K點(diǎn)簡并，而當(dāng)聲波有一定面外傳播的分量時(shí)( k_z ≠ 0 )，由于規(guī)范勢的引入，該簡并破缺，出現(xiàn)無能隙的聲學(xué)邊界態(tài)，對應(yīng)著沿z 方向繞邊界單向螺旋形傳播。

 

為了光/聲集成器件的需要，很自然有這樣的疑問：在二維情況下，能不能實(shí)現(xiàn)不含時(shí)的Floquet拓?fù)鋺B(tài)？2011 年，美國馬里蘭大學(xué)M. Hafezi 等人提出了理論設(shè)計(jì)，并隨后(2013 年)在實(shí)驗(yàn)上基于兩個格點(diǎn)上的共振耦合微腔(環(huán)形波導(dǎo)共振腔)的方向耦合，實(shí)現(xiàn)了一種與環(huán)形微腔順時(shí)針和逆時(shí)針傳播模式相關(guān)的單向邊界傳播態(tài)。如圖3(e)所示，順(逆)時(shí)針傳播模式經(jīng)過一個小元格會產(chǎn)生符號相反的有效規(guī)范勢。這兩種模式光可類比電子“自旋”，繞邊界單向傳輸。實(shí)驗(yàn)上證實(shí)通信波段光(1539 nm)的單向傳輸和無反射繞過晶格缺失缺陷的特性。之后的研究表明，格點(diǎn)共振腔和聯(lián)接共振腔可以是同一種共振環(huán)，只要存在有晶格內(nèi)的耦合且耦合達(dá)到一定強(qiáng)度( θ > π/4 )，即會出現(xiàn)無能隙的拓?fù)溥吔鐟B(tài)。并且，這種基于共振耦合微腔的結(jié)構(gòu)可完全對應(yīng)于網(wǎng)格模型下的Floquet 拓?fù)浣^緣體。最近，基于此的金屬表面等離激元拓?fù)鋺B(tài)也已實(shí)現(xiàn)。針對聲波系統(tǒng)而言，構(gòu)造該類模型的難點(diǎn)在于如何實(shí)現(xiàn)聲共振腔間的方向耦合(聲學(xué)材料阻抗失配較大，耦合系數(shù)極低)。一些基于水聲環(huán)耦合模型，如圖3(f)所示，或是超構(gòu)材料波導(dǎo)間的耦合模型也相繼被報(bào)道。需要注意的是，此類模型中，兩種光/聲贗自旋是完全脫耦的，所以這種拓?fù)鋺B(tài)的缺陷免疫特性僅限于自旋不反轉(zhuǎn)的情況，需要較高的加工精度。

 

 

5 時(shí)間反演和光/聲量子自旋霍爾態(tài)

 

5.1 玻色拓?fù)浣^緣體中的贗時(shí)間反演

 

如前文所述，具有時(shí)間反演不變性的拓?fù)浣^緣體的概念首先是在電子系統(tǒng)中提出并實(shí)現(xiàn)的，其具有體帶絕緣、邊界態(tài)導(dǎo)通的特征，存在一對自旋鎖定并且受時(shí)間反演對稱性保護(hù)的單向傳播的拓?fù)溥吔鐟B(tài)。眾所周知，從統(tǒng)計(jì)力學(xué)角度看，電子是自旋1/2 的費(fèi)米子，光/聲子是自旋為1 的玻色子，其時(shí)間反演算符( T_b² = 1 )與電子的時(shí)間反演算符( T_f² = -1 )具有本質(zhì)區(qū)別，而電子拓?fù)浣^緣體的出現(xiàn)與費(fèi)米子時(shí)間反演導(dǎo)致的Kramers 簡并相關(guān)。類比于拓?fù)浣^緣體，光/聲子系統(tǒng)的時(shí)間反演在不滿足Kramers 簡并的條件下，是否具有受時(shí)間反演對稱性(T_b)保護(hù)的邊界態(tài)？這是一個根本性的問題。另一方面，還需要提高光/聲子的自由度構(gòu)造一對贗自旋對應(yīng)于成對的電子自旋，比如雙重狄拉克錐態(tài)，存在一對共軛態(tài)滿足σ_x 的對稱性( σ 為泡利矩陣)，考慮玻色子自身時(shí)間反演對稱T_b = σ_zK (K為復(fù)共軛算符)，將會得到σ_xσ_zK = -iσ_yK ，這是一個與T_f 數(shù)學(xué)形式一致的算符。

 

假設(shè)存在一對贗自旋[φ_↑，φ_↓]^T 構(gòu)成的玻色系統(tǒng)拓?fù)浣^緣體。那么，在不破缺T的情況下，需滿足T_b² [φ_↑，φ_↓]^T =[φ_↑，φ_↓]^T。然而，構(gòu)成Kramers 簡并的條件為T_f²= -1 。勢必在系統(tǒng)中還存在另一種對稱性(在此我們稱之為贗時(shí)間反演對稱性T_p )，需算符滿足T_p² [φ_↑，φ_↓]^T = -[φ_↑，φ_↓]^T 。兩個約束條件兩個未知數(shù)，原則上只能有唯一的非零解。如果能放棄其中一個(比如T_b )的限制，將會有更多的可能性設(shè)計(jì)易于實(shí)現(xiàn)光拓?fù)浣^緣體的模型。

 

5.2 基于偏振簡并的光/聲量子自旋霍爾態(tài)

 

光偏振態(tài)可作為贗自旋用于類比電子自旋。圖4(a) 為描述光偏振態(tài)的龐加萊球(Poincare Sphere)，所有偏振都可以用球面上的不同點(diǎn)表示，三個主軸方向分別為TM/TE，TE＋TM/TETM，LCP/RCP(左/右圓偏振光)。二維情況下，如果系統(tǒng)中存在一種電磁簡并或者說耦合交換E_z↔H_z 的話，在滿足T不破缺的情況下，用上述T_p 和T_b 的約束，可得到一對唯一的偏振態(tài)TE＋TM/TE－TM，即一對45°線偏光。2013 年，德克薩斯大學(xué)奧斯汀分校A. Khanikaev 等在理論上提出了一種利用雙各項(xiàng)異性介質(zhì)電磁場之間的異面耦合來實(shí)現(xiàn)這一對偏振態(tài)的二維光拓?fù)浣^緣體和光量子自旋霍爾態(tài)，如圖4(b)所示。其本構(gòu)方程可寫為

出于簡并耦合和不破缺時(shí)間反演對稱性的考慮，其需滿足ε= μ和ξ = -ζ^T ( ξ均為純虛數(shù)，含相等非對角項(xiàng))。利用該耦合打開三角晶格狄拉克點(diǎn)簡并，即可實(shí)現(xiàn)TE＋TM/TE－TM光偏振和動量鎖定的單向傳播。隨后的實(shí)驗(yàn)中，中山大學(xué)董建文教授課題組基于介電常數(shù)/磁導(dǎo)率匹配超構(gòu)材料在微波頻段驗(yàn)證了此類拓?fù)溥吔鐟B(tài)的傳輸特性。該課題組利用星形和圓盤形超構(gòu)材料構(gòu)造匹配參數(shù)，如圖4(c)所示，而其中電磁耦合項(xiàng)則可能來源于波導(dǎo)中的TEM 模式。同樣，具有雙曲形能帶的雙各項(xiàng)異性超構(gòu)材料也可用于實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋺B(tài)。

 

圖4 (a)光偏振龐加萊球；(b)T 不變的雙各項(xiàng)異性超構(gòu)材料構(gòu)造光拓?fù)浣^緣體模型；(c)基于介電常數(shù)/磁導(dǎo)率匹配超構(gòu)材料的光拓?fù)浣^緣體；(d)T 破缺的壓電(PE)壓磁(PM)超晶格光拓?fù)浣^緣體模型

 

南京大學(xué)盧明輝、陳延峰研究小組在理論上提出了一種基于壓電/壓磁超晶格構(gòu)成的時(shí)間反演破缺的光拓?fù)浣^緣體模型，與上述模型不同，他們利用的是LCP/RCP 為贗自旋對。特別重要的是，他們指出其中光拓?fù)鋺B(tài)不像電子系統(tǒng)中那樣受時(shí)間反演對稱性保護(hù)，取而代之的是一種人工構(gòu)造的贗時(shí)間反演對稱性T_p ( T_p² = -1 )保護(hù)的邊界態(tài)。這說明玻色子時(shí)間反演對稱條件T_b對設(shè)計(jì)和構(gòu)造光拓?fù)浣^緣體而言，既不必要也不充分，而其關(guān)鍵在于如何構(gòu)造滿足T_p 的共軛態(tài)。時(shí)間反演對稱與否只是反映系統(tǒng)是否需要外加“磁場”或存在“內(nèi)稟磁矩”。因此不考慮玻色子時(shí)間反演對稱性的約束，就可以利用更多種自由度，構(gòu)造更易于在光子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)和調(diào)控的新型拓?fù)涔庾討B(tài)。然而，由于縱波和橫波耦合，要在固體中實(shí)現(xiàn)T_p 對稱剪切聲波簡并目前仍然是較為困難的。

 

5.3 基于布洛赫態(tài)簡并的光/聲量子自旋霍爾態(tài)

 

除了考慮偏振自由度來模擬電子自旋，我們還可以通過設(shè)計(jì)晶體對稱性，利用光/聲布洛赫態(tài)間的模式自由度來模擬電子自旋。日本NIMS 研究人員X. Hu 等在理論上提出可通過復(fù)式六方晶格中的C₆ 的旋轉(zhuǎn)對稱性構(gòu)造出基于布洛赫態(tài)模式雜化的光量子自旋霍爾態(tài)。其贗時(shí)間反演對稱性來自晶體的對稱性，如旋轉(zhuǎn)60°和120°組合，

。利用能帶的折疊可將K 點(diǎn)和K′ 狄拉克簡并折疊回布里淵區(qū)中心形成雙重狄拉克點(diǎn)(取非初基元胞)，如圖5(a)所示。而通過從拉伸到壓縮晶格的過程，可實(shí)現(xiàn)p帶和d 帶間的能帶反轉(zhuǎn)，經(jīng)歷了一個能隙從打開—閉合—再打開的拓?fù)滢D(zhuǎn)變過程。在這個機(jī)制中，兩個簡并的布洛赫態(tài)之間的模式雜化形成了贗自旋向上和向下。那么在這兩種具有不同拓?fù)涮匦缘墓庾泳�體的邊界處可出現(xiàn)拓?fù)浔Ｗo(hù)的自旋依賴的邊界態(tài)，展示了光類比的量子自旋霍爾效應(yīng)。該設(shè)計(jì)不同于之前工作需要考慮復(fù)雜的偏振耦合，更有利于利用純介電光子晶體來構(gòu)造光拓?fù)浣^緣體。

 

這種基于簡并布洛赫態(tài)模式雜化的設(shè)計(jì)為實(shí)現(xiàn)聲的拓?fù)浣^緣體帶來了契機(jī)。因?yàn)閷τ诼曌佣�言，特別是流體聲波(如空氣聲)，因?yàn)樗�是自旋量子�?shù)為零的縱波，所以要想實(shí)現(xiàn)空氣聲的拓?fù)鋺B(tài)的設(shè)計(jì)極為困難，原因是：(1)空氣聲通常不受磁場影響，無法實(shí)現(xiàn)類似磁光光子晶體中的光拓?fù)鋺B(tài)；(2)而引入環(huán)形氣流產(chǎn)生有效“規(guī)度場”來實(shí)現(xiàn)空氣聲的設(shè)計(jì)，可能會由于動態(tài)調(diào)制帶來的不穩(wěn)定性和噪聲使得其在實(shí)驗(yàn)上難于實(shí)現(xiàn)；(3)空氣聲是縱波，不具有偏振簡并特性。最近，盧明輝、陳延峰研究小組在聲子晶體偶然簡并的雙重狄拉克點(diǎn)附近，基于簡并布洛赫態(tài)模式雜化構(gòu)造贗自旋，利用贗自旋—軌道相互作用實(shí)現(xiàn)了p 帶和d 帶間的能帶反轉(zhuǎn)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了受晶格對稱性保護(hù)的聲拓?fù)浣^緣體機(jī)制。C_6V對稱性具有兩個二維不可約表示，由于偶然簡并在布里淵區(qū)中心形成雙重狄拉克錐(這不同于前面所提的能帶折疊機(jī)制)。由高到低調(diào)諧其占空比，可以實(shí)現(xiàn)能帶從打開—閉合—再打開的能帶反轉(zhuǎn)的拓?fù)滢D(zhuǎn)變過程，如圖5(b)所示。實(shí)驗(yàn)證明，在拓?fù)溥吔鐟B(tài)的波導(dǎo)中加入空穴、無序和彎曲等缺陷，聲波均可無背散射的通過，即具有受晶格對稱性保護(hù)的單向傳播的魯棒性，而常規(guī)波導(dǎo)則有強(qiáng)烈的反射。同時(shí)為了研究聲拓?fù)溥吔鐟B(tài)的手征傳播特性，設(shè)計(jì)了一種“x”型的分路器模型，使得贗自旋向上和贗自旋向下的聲波具有完全不同的入口和出口通道，因而在空間上分離出贗自旋向上和向下的兩類聲子。這一異質(zhì)結(jié)構(gòu)首次在不需要激發(fā)和制備出單一聲贗自旋的情況下(通常情況下很困難，特別是在不清楚其等效自旋狀況的情況下)，驗(yàn)證并實(shí)現(xiàn)聲的自旋量子霍爾效應(yīng)：即聲贗自旋向下對應(yīng)逆時(shí)針單向傳播而贗自旋向下對應(yīng)順時(shí)針單向傳播，如圖5(c)所示。

 

圖5 (a)基于簡并布洛赫態(tài)的介電光子晶體拓?fù)鋺B(tài)結(jié)構(gòu)與投影能帶；(b)體能帶反轉(zhuǎn)示意圖；(c)聲自旋量子霍爾效應(yīng)樣品照片及聲贗自旋—透射譜拓?fù)浣^緣體模型

 

需要指出的是，此類拓?fù)淠Ｐ褪腔�于二維平面內(nèi)的晶體對稱性，可看做二維情況下的拓?fù)渚�體絕緣體。雖然具有非平庸的體拓?fù)鋽?shù)，但由于波導(dǎo)左右兩邊布洛赫態(tài)并不完全相同，所以其邊界態(tài)在理論上并不是完全無能隙的，在圖5(a)中標(biāo)出了微帶隙。因此，嚴(yán)格地講，背散射只是被抑制并不是完全免疫。由于真實(shí)樣品在加工中均存在誤差，會破壞嚴(yán)格簡并的狄拉克點(diǎn)，但此模型的微帶隙可根據(jù)需要調(diào)節(jié)得無限小，因而能夠滿足應(yīng)用需要。另外，雙重狄拉克點(diǎn)的破缺方式也可以不選在平面內(nèi)，像考慮z 方向的對稱性破缺也可能打開帶隙，這種情況的例子是基于超構(gòu)材料周期結(jié)構(gòu)的彈性波量子自旋霍爾態(tài)和最近在微波頻段實(shí)現(xiàn)的光拓?fù)浣^緣體。

 

6 討論和展望

 

考慮三維系統(tǒng)的拓?fù)鋺B(tài)時(shí)，則需考慮能帶結(jié)構(gòu)中的線節(jié)點(diǎn)、三維狄拉克點(diǎn)或者更為基本的Weyl 點(diǎn)。Weyl 點(diǎn)是一個線性簡并點(diǎn)，它是能帶結(jié)構(gòu)中兩個體能帶的接觸點(diǎn)且在三個方向上都擁有線性色散。并且，Weyl 點(diǎn)在三維布里淵區(qū)中能帶的拓?fù)湫再|(zhì)是穩(wěn)定的：它可以看做是動量空間中貝利通量的單極，因而與拓?fù)洳蛔兞筷悢?shù)緊密相關(guān)。麻省理工學(xué)院L. Lu 等通過在螺旋二十四面體光子晶體中引入P 破缺，從理論上提出并從實(shí)驗(yàn)上觀測到了光子晶體能帶結(jié)構(gòu)中的Weyl 點(diǎn)。而聲學(xué)Weyl 點(diǎn)理論模型如圖3(d)所示。另一方面，準(zhǔn)周期可視為高維在無理數(shù)面(線)的投影，同樣也會有相應(yīng)的光/聲拓?fù)鋺B(tài)。

 

此外，光量子自旋霍爾態(tài)是受贗時(shí)間反演Tp保護(hù)，而不是真實(shí)的玻色子時(shí)間反演T_b。其背散射免疫傳播特性(或者說魯棒性)也僅限于T_p不變的缺陷。而時(shí)間反演破缺的光拓?fù)溥吔鐟B(tài)的實(shí)驗(yàn)研究主要選取的是旋磁介質(zhì)，其旋磁作用在外加強(qiáng)磁場下的響應(yīng)一般在GHz 波段。如何實(shí)現(xiàn)THz、紅外波段甚至光頻段的光量子霍爾效應(yīng)是一個難點(diǎn)。

 

實(shí)現(xiàn)光/聲拓?fù)鋺B(tài)不僅具有一定的應(yīng)用前景，更可以為光/聲子類比電子的拓?fù)淞孔有��?yīng)提供精確可控的研究平臺。大量具有新意的經(jīng)典波拓?fù)洮F(xiàn)象需要更進(jìn)一步研究，如光/聲分?jǐn)?shù)或反常量子霍爾效應(yīng)，時(shí)空對稱(Parity—Time symmetry)非厄米開放系統(tǒng)中拓?fù)洮F(xiàn)象，彎曲時(shí)空中的光子拓?fù)洮F(xiàn)象，以及糾纏或非線性效應(yīng)作用下的光/聲拓?fù)鋺B(tài)等等。不僅如此，從應(yīng)用角度考慮，存在有拓?fù)浔Ｗo(hù)的單向傳播光子晶體光纖、光量子計(jì)算和量子模擬等也具有重要研究價(jià)值。同時(shí)，所有這些研究又可以促進(jìn)非互易集成光子/聲子器件的研發(fā)。綜上所述，光/聲子晶體拓?fù)鋺B(tài)及其相關(guān)領(lǐng)域的研究正方興未艾，對拓?fù)湎嗟难芯亢托滦凸�、聲器件的研制均具有重要意義。

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