本文對(duì)物理學(xué)中的規(guī)范理論作了通俗介紹，然后討論物理學(xué)中“規(guī)范”一詞的起源。規(guī)范本來(lái)是尺子或者測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)的意思。經(jīng)典電磁學(xué)中使用“規(guī)范”一詞是在外爾1928-1929年提出電磁場(chǎng)中量子帶電粒子的規(guī)范原理之后。如果不是因?yàn)橥鉅栐?jīng)于1918-1919年作過(guò)失敗的嘗試，試圖從時(shí)空中平行移動(dòng)導(dǎo)致的尺度變化來(lái)導(dǎo)出電磁矢量勢(shì)，那么后來(lái)人們就不會(huì)將“規(guī)范”一詞用于電磁矢量勢(shì)。本文也梳理薛定諤、�？撕蛡惗氐呢暙I(xiàn)。
1. 經(jīng)典電磁學(xué)中的“規(guī)范”
從目前物理學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程來(lái)說(shuō)，“規(guī)范”一詞首先在經(jīng)典電磁學(xué)或者經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中出現(xiàn)。
電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B都可以用另外兩個(gè)物理量，即矢量勢(shì)A和標(biāo)量勢(shì)φ表達(dá):
E=-(1/c)∂A/∂t-gradφ, （1）
B=curlA , （2）
這里c是光速，∂A/∂t是A對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即隨時(shí)間的變化率，grad和curl分別代表梯度和旋度。
現(xiàn)在介紹一下上一段出現(xiàn)的數(shù)學(xué)符號(hào)。黑體符號(hào)代表矢量，如E、B、A，是指一個(gè)既有方向，又有大小的物理量。非黑體符號(hào)代表標(biāo)量，如φ，只有大小，沒(méi)有方向。這些物理量都是空間和時(shí)間的函數(shù)。標(biāo)量函數(shù)的梯度（grad）是一個(gè)矢量，它在任意方向的投影就是在這個(gè)方向的變化率。矢量函數(shù)的旋度（curl）也是一個(gè)矢量，它在任意方向的投影是它沿著圍繞這個(gè)方向的一個(gè)無(wú)窮小閉合路徑的積分，再除以所包圍的小面積。
矢量A有3個(gè)空間分量，可以和φ統(tǒng)一看成一個(gè)4維矢量勢(shì)，有4個(gè)時(shí)空分量，寫(xiě)作
（A0, A1,A2, A3），
其中A0=φ是時(shí)間分量。這類(lèi)似于時(shí)間和空間坐標(biāo)可以寫(xiě)作4維時(shí)空坐標(biāo)
（x0, x1,x2, x3），
其中x0=ct。
在經(jīng)典電磁學(xué)里，A不是可直接觀(guān)測(cè)量，φ只有相對(duì)差可以測(cè)量，它們都有選擇自由度�？梢钥闯�，如果由任意標(biāo)量函數(shù)χ定義
A’=A+gradχ, （3）
φ’=φ-(1/c)∂χ/∂t, （4）
那么用A’和φ’取代（1）和（2）式中的A和φ，直接可觀(guān)測(cè)量電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B保持不變。
（3）和（4）被稱(chēng)作規(guī)范變換（gaugetransformation）。在此規(guī)范變換下，E和B的不變性叫作規(guī)范不變（gauge invariance），也就是說(shuō)在規(guī)范變換下的不變性。這兩個(gè)名詞是物理學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)名詞，被普遍使用。“規(guī)范變換”一詞甚至被借用到廣義相對(duì)論中。
1851年，湯姆森（William Thomson，即開(kāi)爾文勛爵）首先通過(guò)（2）式定義了矢量勢(shì)A。1856年，麥克斯韋（James Clerk Maxwell）提出法拉第（Michael Faraday）發(fā)現(xiàn)的感生電場(chǎng)由（1）式的第1項(xiàng)給出，而且確認(rèn)A就是法拉第所說(shuō)的電緊張密度（electrotonic density） [1]。1880年代，亥維賽（Oliver Heaviside）和赫茲（Heinrich Hertz）發(fā)現(xiàn)麥克斯韋方程可以不涉及A，完全由電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)。楊振寧對(duì)這些歷史有精彩的解說(shuō) [1]。
2. 量子力學(xué)中的規(guī)范
簡(jiǎn)單地說(shuō)，量子力學(xué)是描述微觀(guān)粒子的一套運(yùn)算規(guī)則。在量子力學(xué)中，中心概念是量子態(tài)。描述粒子在空間中的運(yùn)動(dòng)的量子態(tài)通常用復(fù)數(shù)波函數(shù)ψ表示，它是空間和時(shí)間的函數(shù)，它的模的平方代表幾率密度。而可觀(guān)測(cè)物理量，比如動(dòng)量、角動(dòng)量，都表示成作用在波函數(shù)上的算符。比如動(dòng)量算符p等于(h/2πi)grad，能量算符H等于(ih/2π) ∂/∂t其中h是普朗克（Max Planck）常數(shù)。與A和φ類(lèi)似，p和H/c也可以統(tǒng)一看成一個(gè)4維動(dòng)量算符，其中p是空間分量，H/c 是時(shí)間分量。
對(duì)于與電磁場(chǎng)耦合的電荷為q的粒子，動(dòng)量算符p和能量算符H作如下改變
p →p-qA /c， （5）
H → H+qφ。 （6）
甚至可以用gauge（規(guī)范化）作為動(dòng)詞指稱(chēng)這兩個(gè)改變。
在量子力學(xué)中，非相對(duì)論性粒子的波函數(shù)服從薛定諤（Erwin Schrödinger）方程，相對(duì)論性粒子服從克萊因-戈登（Klein-Gordon）方程或者狄拉克（Paul Dirac）方程。在作變換（3）和（4）的時(shí)候，波函數(shù)也要相應(yīng)地由原來(lái)的ψ做一個(gè)相位變換
ψ’=exp(2πiqχ/hc) ψ , （7）
從而波函數(shù)服從的運(yùn)動(dòng)方程保持不變，這就是規(guī)范不變性（gauge invariance），即規(guī)范變換下的不變性。χ是時(shí)空坐標(biāo)的函數(shù)，因此規(guī)范變換是定域的。如果χ是常數(shù)，那么相位變換（7）下的不變性是整體對(duì)稱(chēng)。量子力學(xué)與相對(duì)論相結(jié)合后，或者在多粒子系統(tǒng)的量子場(chǎng)論中，上面的波函數(shù)ψ要理解為量子場(chǎng)。
從（5）和（6）式可以得到，電磁場(chǎng)給其中的帶電粒子的波函數(shù)帶來(lái)一個(gè)由電磁勢(shì)沿路徑的積分所給出的相位因子，即
ψ→exp(2πiqS/hc)ψ, （8）
其中
S=∫A1dx1+∫A2dx2+∫A3dx3-c∫φdt
就是電磁勢(shì)沿路徑的積分。1959年，阿哈羅諾夫（YakirAharonov）和玻姆（David Bohm）發(fā)現(xiàn)這個(gè)相位因子有觀(guān)測(cè)效應(yīng)，即使在場(chǎng)強(qiáng)E和B消失的區(qū)域 [2]。這確立了A和φ的物理實(shí)在性。
量子理論框架下的規(guī)范原理是外爾（Hermann Weyl）在1928-1929年確立的[3,4,5]。規(guī)范原理使得作為電磁場(chǎng)源的電荷的守恒成為規(guī)范不變性的后果，而且時(shí)空中每個(gè)點(diǎn)上都可以有定域規(guī)范變換。如果量子粒子不與電磁場(chǎng)耦合，那么就沒(méi)有規(guī)范不變性，也就是說(shuō)，與電磁場(chǎng)的耦合保證了規(guī)范不變性。為了有規(guī)范不變性，電磁場(chǎng)必須存在。因此人們說(shuō)，電磁場(chǎng)是規(guī)范場(chǎng)。
規(guī)范場(chǎng)本身的量子化導(dǎo)致它對(duì)應(yīng)的規(guī)范粒子，后者是前者的量子。電磁場(chǎng)的量子是光子，沒(méi)有質(zhì)量。
3. 楊-米爾斯理論
1950年代，各種奇異粒子的發(fā)現(xiàn)層出不窮，如何確定它們的相互作用成為一個(gè)重要問(wèn)題。在此物理驅(qū)動(dòng)下，1954年，楊振寧和米爾斯（RobertMills）將外爾關(guān)于電磁場(chǎng)的規(guī)范理論推廣為非阿貝爾（Non-Abelian）規(guī)范理論，也叫楊-米爾斯理論[6,7]。楊振寧和米爾斯強(qiáng)調(diào)，作為時(shí)空坐標(biāo)的函數(shù)，規(guī)范變換是定域的。
在楊-米爾斯理論的最初形式中，波函數(shù)ψ被推廣為有兩個(gè)分量的波函數(shù)。基本粒子的量子態(tài)是兩種基本內(nèi)部狀態(tài)的疊加狀態(tài)，這兩個(gè)分量波函數(shù)就是疊加系數(shù)。數(shù)學(xué)上可以將這兩個(gè)分量波函數(shù)一起寫(xiě)成一個(gè)2行1列的矩陣。相應(yīng)的規(guī)范變換（準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)，應(yīng)該叫相位變化）被推廣為一個(gè)2行2列的矩陣變換，也就是說(shuō)這個(gè)2行2列的矩陣乘以原來(lái)的二分量波函數(shù)，得到變換以后的新波函數(shù)。
做一個(gè)類(lèi)比。一個(gè)平面上從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的矢量可以用兩個(gè)坐標(biāo)表示，這兩個(gè)坐標(biāo)可以寫(xiě)成一個(gè)2行1列的坐標(biāo)矩陣。矢量繞著原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)就可以用一個(gè)2行2列的變換矩陣來(lái)表示。一個(gè)2行2列的變換矩陣乘以一個(gè)2行1列的坐標(biāo)矩陣，就給出一個(gè)2行1列的新坐標(biāo)矩陣，它的第一行等于變換矩陣第一行兩個(gè)數(shù)與坐標(biāo)矩陣的兩個(gè)數(shù)分別相乘再相加，它的第二行等于變換矩陣第二行兩個(gè)數(shù)與坐標(biāo)矩陣的兩個(gè)數(shù)分別相乘再相加。
連續(xù)作兩次變換就是兩個(gè)變換矩陣相乘。一般來(lái)說(shuō)，矩陣相乘與順序有關(guān)。數(shù)學(xué)上，與順序無(wú)關(guān)的情況叫作阿貝爾（Abelian），與順序有關(guān)的情況叫作非阿貝爾。所以楊-米爾斯理論又叫非阿貝爾規(guī)范理論。
在楊-米爾斯理論中，對(duì)于2分量波函數(shù)，引進(jìn)與某個(gè)規(guī)范場(chǎng)的耦合，從而將規(guī)范場(chǎng)從電磁場(chǎng)推廣到非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)，保證定域規(guī)范不變性以及某種荷的守恒。
粒子與規(guī)范場(chǎng)的耦合與（5）和（6）類(lèi)似。但是，因?yàn)榱Ｗ硬ê瘮?shù)是一個(gè)2行1列的矩陣，規(guī)范勢(shì)的每個(gè)時(shí)空分量是一個(gè)2行2列的矩陣。楊振寧和米爾斯還給出了由規(guī)范勢(shì)決定規(guī)范場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的公式，以及粒子波函數(shù)與規(guī)范場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程。
在電磁規(guī)范理論中，運(yùn)動(dòng)方程和電磁場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)都是規(guī)范不變的。而在楊-米爾斯理論中，規(guī)范場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的每個(gè)時(shí)空分量都是一個(gè)2行2列的矩陣，它們?cè)谝?guī)范變換下是有變化的，不是規(guī)范不變的，不過(guò)，變換與波函數(shù)的變換相對(duì)應(yīng)，有規(guī)范協(xié)變性（gauge covariance）。但是運(yùn)動(dòng)方程是規(guī)范不變的。非阿貝爾規(guī)范勢(shì)的每個(gè)時(shí)空分量由內(nèi)部狀態(tài)空間中若干獨(dú)立分量組合而成。獨(dú)立分量的個(gè)數(shù)由規(guī)范對(duì)稱(chēng)性的數(shù)學(xué)性質(zhì)決定。這導(dǎo)致規(guī)范粒子之間也有相互作用，這是與電磁場(chǎng)的一大區(qū)別。
1954年的時(shí)候，具體來(lái)說(shuō)，楊振寧和米爾斯把定域規(guī)范場(chǎng)的思想用在強(qiáng)相互作用關(guān)于質(zhì)子與中子的對(duì)稱(chēng)性，即同位旋守恒，就是說(shuō)把質(zhì)子和中子當(dāng)作同種粒子的兩個(gè)內(nèi)部態(tài)。當(dāng)時(shí)對(duì)于這種情況下規(guī)范粒子質(zhì)量問(wèn)題沒(méi)有很好的結(jié)論，而且后來(lái)人們了解到同位旋守恒只是近似的。
但是楊-米爾斯規(guī)范理論為確定基本粒子的相互作用提供了一個(gè)基本原理[8,9,10]。本來(lái)，基本粒子之間的相互作用形式無(wú)法確定，楊-米爾斯規(guī)范理論規(guī)定了相互作用必須是什么樣的。
后來(lái)?xiàng)?/span>-米爾斯規(guī)范理論成為描述弱電相互作用和強(qiáng)相互作用的基本理論框架，分別借助自發(fā)對(duì)稱(chēng)破缺和漸進(jìn)自由，導(dǎo)致粒子物理的標(biāo)準(zhǔn)模型。
溫伯格（StevenWeinberg）、格拉肖（Sheldon Glashow）和薩拉姆（Abdus Salam）等人各自在1960年代的工作最終確立了弱電理論。弱電理論的最后形式建立在楊-米爾斯規(guī)范理論和自發(fā)對(duì)稱(chēng)破缺機(jī)制的基礎(chǔ)上。其中有兩種規(guī)范場(chǎng)，一個(gè)是2行2列矩陣，在內(nèi)部空間中有3個(gè)獨(dú)立分量W1、W2、W3，另一個(gè)規(guī)范場(chǎng)像電磁場(chǎng)那樣在內(nèi)部空間只有1個(gè)分量B。W1和W2的線(xiàn)性組合給出W+和W-，W3和B的線(xiàn)性組合給出Z0和電磁場(chǎng)。W+、W- 和Z0的規(guī)范粒子質(zhì)量通過(guò)自發(fā)對(duì)稱(chēng)破缺獲得，即所謂的安德森-布勞特-恩格萊特-希格斯（Anderson-Brout-Englert-Higgs）機(jī)制。電磁場(chǎng)的規(guī)范粒子光子無(wú)質(zhì)量。1983年，W+、W- 和Z0在CERN被魯比亞(Carlo Rubbia)等人觀(guān)測(cè)到。
描述夸克之間強(qiáng)相互作用的楊-米爾斯規(guī)范理論被創(chuàng)始人之一蓋爾曼（Murry Gell-Mann）稱(chēng)作量子色動(dòng)力學(xué)，其中的規(guī)范場(chǎng)是膠子場(chǎng)，與夸克的色自由度耦合。色與弱電理論無(wú)關(guān)�？淇诉�有個(gè)自由度叫作味，與弱電理論相關(guān)，而與色動(dòng)力學(xué)無(wú)關(guān)。每種味的夸克都有3種色，因此色波函數(shù)是3行1列的矩陣，膠子場(chǎng)是3行3列的矩陣，在色空間中有8個(gè)獨(dú)立分量（可以說(shuō)是8種膠子）。帶色的規(guī)范粒子膠子確實(shí)如楊-米爾斯理論原本所述，沒(méi)有質(zhì)量，但是通常與夸克一起被禁閉在強(qiáng)子中而不能被孤立出來(lái)。
4. 為什么要用“規(guī)范”這個(gè)詞
規(guī)范變換（7）實(shí)際上是個(gè)相位變換，規(guī)范場(chǎng)是相位場(chǎng)。那么為什么要用“規(guī)范”這個(gè)詞呢？是因?yàn)樵仍诮?jīng)典電磁學(xué)里，（3）和（4）就被稱(chēng)作規(guī)范變換嗎？
與直覺(jué)的推測(cè)相反，答案是否定的。
事實(shí)上，這是因?yàn)橥鉅?/span>1928-1929年的理論是他1918-1919年理論的修正，而后者所討論的是名副其實(shí)的規(guī)范不變性。
1918-1919年，受愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的鼓舞，外爾試圖用幾何的方法導(dǎo)出電磁場(chǎng)，以便與引力統(tǒng)一�？紤]在時(shí)空中的平行移動(dòng)，廣義相對(duì)論說(shuō)時(shí)空的彎曲導(dǎo)致矢量方向有變化，而外爾猜想電磁勢(shì)導(dǎo)致沿路徑的積分給出一個(gè)時(shí)空變化因子。但是與后來(lái)1928-1929年理論不同，這個(gè)因子的指數(shù)上沒(méi)有虛數(shù)單位i，因此不是相位因子，而是標(biāo)度因子，確實(shí)是所謂的“規(guī)范”因子。“規(guī)范”本是尺子或者測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)的意思。外爾1918-1919年的理論遭到了愛(ài)因斯坦的反對(duì)。
外爾1918-1919年的理論建立在3篇論文的基礎(chǔ)上[11,12,13]。楊振寧注意到 [14]，外爾在前兩篇論文中，用的名詞是masstab invarianz，翻成英文是measure invariance（測(cè)定不變性），在第三篇論文中，他用的名詞是eich invarianz，而eich invarianz在1921年被翻譯為英文calibrationinvariance。杰克孫（John David Jackson）和奧肯（Lev B. Okun）注意到[15]，英文gaugeinvariance 后來(lái)首先出現(xiàn)在外爾本人1929年的英文文章中[4]。Eich invarianz，calibration invariance或者gauge invariance就是中文的“規(guī)范不變性”。
1922年，薛定諤猜測(cè)可以在外爾的規(guī)范因子的指數(shù)里加上虛數(shù)單位i [16]。
1922年，卡魯扎（Th. Kaluza）提出5維時(shí)空理論，第5維與4維時(shí)空之間的度規(guī)系數(shù)由電磁勢(shì)給出。
1926年，薛定諤的4篇系列文章創(chuàng)立了波動(dòng)力學(xué)（與矩陣力學(xué)同為當(dāng)時(shí)量子力學(xué)的兩種形式），這4篇文章分別于1月27日、2月23日、5月10日、6月23日被雜志社收到[17,18,19,20]。薛定諤的這4篇論文中都沒(méi)有提到他1922年修改外爾理論的工作。但是在第4篇論文中，薛定諤指出在電磁場(chǎng)中，帶電粒子的動(dòng)量和能量算符必須如我們上面的（5）和（6）式 [20]。
也是1926年，在薛定諤的波動(dòng)力學(xué)工作帶領(lǐng)下，克萊因（Oskar Klein）和福克（Vladimir Fock）分別獨(dú)立討論了卡魯扎理論框架下的波動(dòng)力學(xué)。�？说恼撐�7月24日被雜志社收到得到，文中在得到波函數(shù)運(yùn)動(dòng)方程后，又指出在變換（3）、（4）、（7）下的不變性，也就是我們現(xiàn)在所說(shuō)的規(guī)范不變性 [21]。
當(dāng)年12月10日左右，倫敦（Fritz London）寫(xiě)了一封幽默的信給薛定諤，提到后者1922年修改外爾規(guī)范因子的工作，并敦促他闡明與波動(dòng)力學(xué)的聯(lián)系[22,23]。
1969年拉曼（V. V. Raman）和福曼（P. Forman）挖掘出這封倫敦致薛定諤的信后，人們發(fā)現(xiàn)，薛定諤1922年的工作對(duì)他創(chuàng)立波動(dòng)力學(xué)確實(shí)起了作用，他1925年11月致愛(ài)因斯坦的一封信就提到德布羅意理論與外爾理論的聯(lián)系 [23,24]。
倫敦在1926年12月給薛定諤寫(xiě)了信后，自己寫(xiě)了兩篇文章，將波動(dòng)力學(xué)與外爾1918-1919年的規(guī)范理論聯(lián)系起來(lái)，提出電磁場(chǎng)帶來(lái)波函數(shù)的相位因子，即我們上面的（8）式[19,20]。
終于，外爾在他1928年的書(shū)《量子力學(xué)中的群論》[3]和1929年的兩篇文章中 [4,5]，修改了他1918-1919年的理論，將標(biāo)度因子改為相位因子，但是卻沿用了原來(lái)的名詞“eich（規(guī)范）”。1929年兩篇文章在他訪(fǎng)問(wèn)美國(guó)普林斯頓時(shí)完成。第一篇是英文的，其中出現(xiàn)了英文名詞principle of gauge invariance。第二篇是第一篇的擴(kuò)充，是德文的，其中還包含其它量子場(chǎng)論基本問(wèn)題，比如二分量旋量理論。
外爾提出規(guī)范不變?cè)恚瑢㈦姶艌?chǎng)與物質(zhì)（而非原先所說(shuō)的電磁場(chǎng)與引力）聯(lián)系在一起，為了規(guī)范不變?cè)淼某闪�，電磁�?chǎng)作為物質(zhì)波的必要伴侶而被推導(dǎo)出來(lái)，電荷守恒是規(guī)范不變性的后果。
泡利（WolfgangPauli）在他關(guān)于場(chǎng)論的著名綜述文章中，介紹了外爾的規(guī)范理論[27,28]。學(xué)生時(shí)代的楊振寧正是通過(guò)泡利的綜述對(duì)規(guī)范原理留下了深刻印象 [8]。
5. 經(jīng)典電磁學(xué)中“規(guī)范”一詞的來(lái)源
1977年，楊振寧考證 [14]，經(jīng)典電磁學(xué)中的E和B在變換（3）和（4）下保持不變的性質(zhì)原先似乎并沒(méi)有一個(gè)專(zhuān)有名詞，比如著名的Fopple-Abraham-Becker-Sauter電磁學(xué)教材有很多版，而直到1964年英文版，“gauge（規(guī)范）”一詞才出現(xiàn)在這部經(jīng)典電磁學(xué)教科書(shū)中。
我們核查了很多早期的經(jīng)典電磁學(xué)的書(shū)籍，其中有變換（3）和（4），但是確實(shí)沒(méi)有使用專(zhuān)有名詞。
在楊振寧的1977年文章之后，派斯（Abraham Pais）1986年明確斷言 [29]，“規(guī)范”一詞就是從外爾1919年的文章開(kāi)始使用的。但是派斯沒(méi)有給出這個(gè)斷言的理由。我們猜測(cè)，他很可能就是從楊振寧文章中得到的信息。
我們認(rèn)為，eich、gauge或者規(guī)范本來(lái)是尺子或者測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)的意思，如果不是因?yàn)橥鉅柼岢銎叫幸苿?dòng)時(shí)的尺度變換問(wèn)題，沒(méi)有道理用它來(lái)指電磁場(chǎng)的變換性質(zhì)，所以，“規(guī)范”（以德文的形式）應(yīng)該是從外爾1918-1919年的論文才開(kāi)始用這個(gè)名詞來(lái)表示電磁場(chǎng)的性質(zhì)。而該理論當(dāng)時(shí)被愛(ài)因斯坦反對(duì)，沒(méi)有被人們接受。所以可以理解，“規(guī)范”當(dāng)時(shí)也沒(méi)有被他人用于經(jīng)典電磁學(xué)。而外爾1928-1929年用量子力學(xué)修正的規(guī)范理論因?yàn)槠湔_性，被人們接受了，結(jié)果“規(guī)范”一詞也走進(jìn)了經(jīng)典電磁學(xué)。
致謝
感謝楊振寧先生幾年前告知筆者“規(guī)范”一詞起源問(wèn)題，以及相關(guān)的討論。
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